脑力小体操：反直觉的骰子

majer 【奇闻趣事网】399718.com05.30 , 00:18

脑力小体操：反直觉的骰子

像下面的问题直接求期望……一般来说，我尽量不使用数学味太浓的问题，但这个问题实在是非常精确，非常反直觉。互联网大家庭似乎是14年左右，以色列一所大学里的研究生在讨论课上，向导师提出的问题。是新千年里难得的妙题：形式简单，但结果出人意料，发人深省。
现有一个理想的经典6面骰子。
假设“凑巧”每次投掷的时候，出现的全是奇数(点数∈{1、3、5})。
问：投出1点的平均等待次数是多少(算上成功投出1的那一次)？
如果一个随机数生成器，等概率地蹦出1、3、5。则平均等待时间显然是3次。
直觉上，大家或许感觉骰子的答案应该也是3次。但如果数值模拟一下，就知道肯定不对。
为了避免歧义，再解释一下怎么“凑巧”点数都是奇数。
就是在某轮实验里，在投出1之前，若投出了偶数，则本次实验无效，不计入统计。
最后在有效的实验场次里，计算平均等待时间/次数。
测试一下自己的物理直觉？
一块三角形的木头板，正视图如下

现在把它钉在墙壁上，三角形底边未必水平。已知构成三角形的斜面都打磨的非常平整、光滑。
现在，我有一条非常柔软，光滑(且均质，当时忘了加这个条件)的大金链子。把它搭在那个三角形板上。大致如上图。
第一问，搭在三角形上的链子是否会发生滑动。如果使用正玄定理+受力分析，也能得到答案，但是，有个非常直接且有说服力的理@，可以直击要害。
第二问，现在我剪断三角形下面链子的悬垂部分。问，搭在三角形两个面上的部分，是否会滑动？
DickLongman评论道
这个问题其实就是the epitaph of Stevinus，但是Stevin自己也没有证明好这个问题。有一个关键点在于：下方悬挂部分不一定不会发生形状变化。
按一般的受力分析的“摆放-松手”来理解，如果松手之后下方悬挂部分不会发生形状变化，链条才会静止，否则就出现了角动量无限增加的永动机。此时下方悬挂部分与两个顶点自平衡，从任意水平面方向(垂直于重力方向)剪去下方的一段(包括极限情况即剪开最下方相切的点)都不会破坏平衡，反之则会破坏平衡导致链条滑动。
如果松手之后下方悬挂部分会发生形状变化，后续又分为两种情况。第一种情况为不会增加角动量，即下方悬挂部分做重力方向的周期运动，此时第二问的结论与平衡时相同。
第二种情况是悬挂部分的形状变化会增加角动量，此时上方链条会做周期性滑动，下方链条会做一个类单摆的运动。第二问的结论为当且仅当链条处于角动量为零的两个极限状态下时，将下方链条中从顶点开始不是垂直的部分从一个水平面处全部切断(其中一种情况为三角形底边为水平，链条角动量为零时全部截去下方链条)，其余链条才不会滑动，否则会滑动。
这里的Stevinus是Simon Stevin, 生卒年代1548 – 1620。
这个名字大家或许很陌生，但他的主要成就，可以说接受过9年义务教育的人，都十分熟悉。
Stevin是已知的第一个推导出力的平行四边形法则的人——就是用平行四边形法则分解力。可惜的是，当时没人注意到。所以，历史上这一荣誉被归于 Pierre Varignon。
就因为他掌握了分析力的工具，所以Stevin提出了一个类似我们“金链子三角形”的问题：斯特文努斯的墓志铭the epitaph of Stevinus。虽然斯特文的结论是正确的，但证明有某些逻辑上的缺陷。
他还发现了流体静力学悖论，即液体中的压力与容器的形状和底部的面积无关，而只取决于其高度。
他还给出了一个容器侧面任何给定部分的压力的测量方法。
他是第一个用月亮的吸引力来解释潮汐的人。
1586年，他证明了两个不同重量的物体以完全相同的加速度落下。
此外，他在音乐、复式记账法等领域均有建树。而在Stevin生前，就因为发明了陆地游艇而声名大噪，以及在水利工程方面的工作改进了水闸和泄洪道的设计。

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